Mathematik im Studium

"Ingenieur-Mathematik" - Was man in den ersten Semestern lernt

Hier finden Sie einen Überblick über das mathematische Wissen, das sich Ingenieure im weitesten Sinne, also auch Maschinenbauer und Elektrotechniker im Grundstudium aneignen. Natürlich ist von Vorteil, wenn Sie die Differential- und Integralrechnung, das Lösen von linearen Gleichungssystemen und die elementare Vektorrechnung bis zur Rechnung mit Geraden und Ebenen bereits beherrschen. Wer sich unsicher fühlt, für den/die gibt es aber immer noch die "Brücken-" oder "Vorkurse", die die meisten Universitäten anbieten, damit die Studierenden Ihr Wissen auffrischen können.

Die unten dargestellten Themenbereiche werden an jeder Uni behandelt, aber nicht alle im Detail. Da Bildungsfragen in der Hand der Bundesländer liegen, legen die jeweiligen Bundesländer und die Universitäten Details und Reihenfolge fest; es gibt also keine bundesweit verbindlichen Lehrpläne. Zudem können die Veranstaltungen andrenorts auch andere Namen tragen bzw. die Inhalte können auf mehr als ein oder zwei Veranstaltungen verstreut sein. Die Liste der Lehninhalte unten ist daher nur zur Orientierung gedacht.

In den ersten beiden Semestern besuchen Studierende der Ingenieurswissenschaften in der Regel die Veranstaltungen "Analysis I für Ingenieure" und "Lineare Algebra für Ingenieure". Im Prinzip stellt die Analysis die Vertiefung der Differential- und Integralrechnung und die Lineare Algebra die Vertiefung der Vektorrechnung dar.

Analysis I für Ingenieure

Grundlagen

1. Aussagenlogik
2. Mengentheorie, -operationen
3. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten, Binomischer Lehrsatz
4. Vollständige Induktion
5. Natürliche, Ganze, Rationale und Reelle Zahlen
6. Komplexe Zahlen
7. Zahldarstellungen (binär, hexadezimal etc)
8. Folgen, Reihen
9. Grenzwerte von Folgen
10. Potenzreihen

Funktionen

1. Abbildungen, Funktionen
2. (streng) monotone, injektive, surjektive, bijektive Funktionen
3. Stetige Funktionen, Sätze/Eigenschaften stetiger Funktionen
4. Betragsfunktion, Polynome, Exponentialfunktion, Trigonometrische Funktionen
5. Umkehrfunktion

Differentiation

1. Theorie der Differenzierbarkeit einer Funktion
2. Zusammenhänge von Differenzierbarkeit mit dem Stetigkeitsbegriff
3. Ableitungsregeln (Standardableitungen, Faktor-, Potenz-, Summen-, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel)
4. Extrema, Kriterien für Extrema

Integration

1. Integration als Annäherung der Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken
2. Bestimmtes, unbestimmtes Integral
3. Integrationsregeln (Standardintegrale, Faktor-, Potenz-, Summenregel, partielle Integration, Substitution, Integration mittels logarithmischer Integration und Partialbruchzerlegung)
4. Uneigentliche Integrale
5. Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

Numerik (Annäherung von "komplizierten" Funktionen mittels geeigneter "guter" Funktionen)

1. lokale Approximation ? Taylorpolynome und -reihen
2. globale Approximation ? Fourierreihen

In Analysis II geht es dann im Wesentlichen darum, die Kenntnisse auf Funktionen mit mehreren Veränderlichen auszuweiten. Man beschäftigt sich auch dann wieder mit Funktionen, Differentiation, Integration und Numerik von Funktionen.

Lineare Algebra für Ingenieure

Die Lineare Algebra beschäftigt sich im Wesentlichen mit linearen Abbildungen auf abstraktem Niveau und Vektorräumen, einer Verallgemeinerung der Vektoren aus der Schule. Damit werden dann Modellierungen vorgenommen und es werden beispielsweise auch Differentialgleichungssysteme gelöst.

Grundlagen

1. Aussagenlogik, grundlegende Mengenlehre
2. Summen
3. Vollständige Induktion
4. Natürliche, Ganze, Rationale und Reelle Zahlen
5. Norm, Skalarprodukt
6. Kreuzprodukt, Spatprodukt
7. Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Lineare Abbildungen und Matrizen

1. Eigenschaften linearer Abbildungen
2. Kern und Bild linearer Abbildungen
3. Dimensionssatz
4. Matrizen
5. Rechenregeln für Matrizen
6. Besondere Matrizen

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

1. Gauß-Verfahren zur Lösung von LGS
2. Lösungsmengen von LGS
3. Matrixdarstellung von LGS
4. Invertierung von Matrizen

Determinante

1. Anwendung zur Volumenberechnung
2. spezielle Berechnungsformeln / allgemeine Berechnungsformeln
3. Rechenregeln für Determinanten
4. Zusammenhang mit Lösbarkeit von LGS

Basiswechsel und darstellende Matrix

1. Eigenschaften von Basen eines Vektorraums
2. Orthonormalbasis mit Eigenschaften
3. Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
4. Abhängigkeit der darstellenden Matrix von der Basis und Basenwechsel
5. Kommutative Diagramme zum Basiswechsel

Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung

1. Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen
2. Eigenwerte, Eigenvektoren von speziellen Matrizen
3. Zusammenhang Eigenwerte mit Determinante
4. Hauptvektoren als spezielle Eigenvektoren
5. Diagonalisierbarkeit von Matrizen

Differentialgleichungen (DGL)

1. grundlegende Eigenschaften von Differentialgleichungen
2. Lösung von homogenen / inhomogenen DGL
3. Darstellung von DGL-Systemen mittels Matrizen
4. Lösung von DGL-Systemen mittels Diagonalisierung

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